Andrzej Szczepkowski przeszedł na świat 26 kwietnia 1923 roku w rodzinie kolejarskiej (jego ojciec był naczelnikiem stacji kolejowej). Nie zdecydował się jednak na kontynuowanie tych tradycji. Po dzieciństwie spędzonym w Suchej Beskidzkiej wyjechał do Krakowa, gdzie już w trakcie II wojny światowej działał w ruchu teatralnym, jakim był Teatr Podziemny Adama Mularczyka. W 1945 roku został słuchaczem Studia Aktorskiego przy Starym Teatrze w Krakowie, zdając w nim eksternistyczny egzamin aktorski. Zagrał Odysa w „Powrocie Odysa” Stanisława Wyspiańskiego w reżyserii Tadeusza Kantora oraz Franka w „Niespodziance”. Karola Huberta Rostworowskiego w reżyserii Wiesława Goreckiego. Przez kilka kolejnych lat występował w krakowskim Teatrze Powszechnym, Teatrze Kameralnym TUR, poznańskim Teatrze Polskim, Teatrach Śląsko-Dąbrowskich w Katowicach i Sosnowcu. Po przeprowadzeniu się do Warszawy był przez długie lata związany z Teatrem Narodowym i nieco krócej z Teatrem Komedia, Teatrem Polskim oraz Teatrem Dramatycznym, którego był dyrektorem w latach 1966-1968. W ciągu całej swojej kariery stworzył ponad 130 kreacji aktorskich.

Działalność artystyczna Andrzeja Szczepkowskiego nie ograniczała się do występów na deskach teatralnych. Zagrał również w kilkudziesięciu filmach fabularnych i serialach, tworząc wyraziste postaci drugoplanowe, między innymi Stanisława Witkiewicza w „Mansardzie”, Franciszka w „Piekle i niebie” czy mecenasa Góreckiego w filmie „Życie za życie. Maksymilian Kolbe”. Widzowie mieli również możliwość oglądać go w takich produkcjach jak „Wojna domowa”, „Pan Wołodyjowski”, „Wesele”, „Noce i dnie”. Stworzył też niezapomniane role w filmach dla młodych widzów, jak „Historia żółtej ciżemki” czy „Awantura o Basię”, a także w popularnym serialu telewizyjnym „Wojna domowa”.

Andrzej Szczepkowski przez lata był związany z Polskim Radiem, dokonując 970 nagrań różnych form radiowych (role w słuchowiskach i recytacje poezji). Grał także i reżyserował w Teatrze Telewizji. Ponadto działał w warszawskich kabaretach Stańczyk, Szpak i Pod Egidą, a swoje duże poczucie humoru zaprezentował także w wydanym zbiorze fraszek „Słóweczka”. Wykładał w stołecznej PWST, gdzie od 1978 do 1981 roku pełnił funkcję prodziekana Wydziału Aktorskiego. W latach 1981-1982 był prezesem Związku Artystów Scen Polskich.

W 1954 roku Andrzeja Szczepkowski otrzymał Złoty Krzyż Zasługi, a w roku 1966 Krzyż Komandorski Orderu Odrodzenia Polski. Przyznano mu również nagrody za rolę Dyrektora Filharmonii w przedstawieniu „Rzeźnia” Sławomira Mrożka w reżyserii Jerzego Jarockiego w Teatrze Dramatycznym w Warszawie na 16. Festiwalu Polskich Sztuk Współczesnych we Wrocławiu (1975 rok) oraz za rolę Piłata (Pielgrzyma) Józefa z Arymatei w „Grze o narodzeniu i męce pańskiej” w reżyserii Kazimierza Dejmka w Teatrze Polskim w Warszawie na 9. Opolskich Konfrontacjach Teatralnych (1983 rok).

W 1988 roku aktor przeszedł na emeryturę, ale pozostał czynny zawodowo, grając w Teatrze Ateneum. Rok później uzyskał mandat senatora z ramienia Komitetu Obywatelskiego.